『一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する』第1章を読んだ

一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する』第1章(数学の準備)を読んだ。気付いたことを箇条書きにする。

この記事は自分が読み返すときのための覚え書きであって、書籍の内容を要約しようとするものではありません。

  • p. 20 では交換法則として \( a \times b = -(b \times a) \) が導入されてゐるが、これは反交換法則だと思ふ。

  • pp. 26–27 にくゎんれんして、積の微分法則が内積に拡張できることを示す:

    \( \boldsymbol{a}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \)、\( \boldsymbol{b}(t) = \begin{pmatrix} \alpha(t) \\ \beta(t) \\ \gamma(t) \end{pmatrix} \) とする。このとき、

    $$ \begin{aligned} (\boldsymbol{a}(t) \cdot \boldsymbol{b}(t))' & = \left( \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha(t) \\ \beta(t) \\ \gamma(t) \end{pmatrix} \right)' \\ & = ( x(t) \alpha(t) + y(t) \beta(t) + z(t) \gamma(t) )' \\ & = \green{x'(t) \alpha(t)} \blue{+ x(t) \alpha'(t)} \green{+ y'(t) \beta(t)} \blue{+ y(t) \beta'(t)} \green{+ z'(t) \gamma(t)} \blue{+ z(t) \gamma'(t)} \\ & = \green{\begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \\ z'(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha(t) \\ \beta(t) \\ \gamma(t) \end{pmatrix}} \blue{+ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha'(t) \\ \beta'(t) \\ \gamma'(t) \end{pmatrix}} \\ & = \boldsymbol{a}'(t) \cdot \boldsymbol{b}(t) + \boldsymbol{a}(t) \cdot \boldsymbol{b}'(t) \\ \end{aligned} $$

  • p. 39 の (2) 左図の \( (a, b) \) は、直線 \( l \) 上で \( t = 0 \) の点を指してゐる。

  • p. 40 の数式は \( \nabla f \left( = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\[1ex] \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix} \right) \) と \( \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} \) の内積であることを確認しながら読むと読みやすくなる:

    $$ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial f}{\partial y} \sin \theta & = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\[1ex] \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} \\ & = \left| \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\[1ex] \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix} \right| \left| \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} \right| \cos(\theta - \alpha) \\ & \cdots \\ \end{aligned} $$

  • p. 49 の \( \frac{\partial x}{\partial x'} = a_1, \ldots \) は \( x = a_1 x' + b_1 y' + c_1 z', \ldots \) をそれぞれ \( x', \ldots \) で偏微分すると得られる。

  • p. 68 では弧度法の定義(単位円の円周)を使ふ。たまに度忘れするので注意したい。

  • p. 88 で \( C_1 \)、\( C_2 \)、\( C_3 \) に使はれてゐる \( x \)、\( y \) はパラメーター。

  • p. 89 の \( \int_a^0 A_x \left( x, b \left( 1 - \frac{x}{a} \right) , 0 \right) dx + \int_0^b A_y \left( a \left( 1 - \frac{y}{b} \right) , y, 0 \right) dy \) は pp. 72–73 で導入された \( \int_C \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r} = \int_{x(a)}^{x(b)} F_x(x, y) dx + \int_{y(a)}^{y(b)} F_y(x, y) dy \) の適用例。

  • p. 89 で法線ベクトルを右ねじの向きに取った理由はよく分からなかった[1]。後日追記するかも。

  • p. 98 に関聯して、\( \nabla \cdot \frac{\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^n} = 0 \) となる \( n \) が \( 3 \) 以外にあるかを確認する:

    左辺の \( \nabla \) を展開すると、

    $$ \begin{aligned} \nabla \cdot \frac{\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^n} & = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x - a}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^n} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y - b}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^n} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{z - c}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^n} \right) \\ & = 0 \\ \end{aligned} $$

    となる。こゝで、\( \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x - a}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^n} \right) \) は、

    $$ \begin{aligned} & \phantom{=} \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x - a}{|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^n} \right) \\ & = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x - a}{(|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^2)^{\frac{n}{2}}} \right) \\ & = \frac{1}{(|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^2)^{\frac{n}{2}}} + (x - a) \cdot \left( - \frac{n}{2} \right) \cdot \frac{1}{(|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^2)^{\frac{n}{2} + 1}} \cdot 2 (x - a) \\ & = \frac{1}{(|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^2)^{\frac{n}{2} + 1}} (|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^2 - n (x - a)^2) \\ \end{aligned} $$

    なので、\( \boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{a} \) と対称形から、

    $$ \begin{aligned} & \phantom{\iff} 3 |\boldsymbol{x} - \boldsymbol{a}|^2 - n (x - a)^2 - n (y - b)^2 - n (z - c)^2 = 0 \\ & \iff n = 3 \\ \end{aligned} $$

  • p. 99 では \( \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \varphi(x, t) = 0 \) が波動方程式(1次)として導入されるが、これは次数ではなく次元数だと思ふ。p. 102 も同じ。

  • p. 107 に\( \Delta \left( \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|^{1 - \alpha}} \right) \) の符号が負とあるが、これが負となるには、p. 105 で \( \alpha \) を定義するときに \( 0 < \alpha < 1 \) としておく必要がある。\( \alpha \to +0 \) に飛ばすのはこれより後である。

  • p. 110 の(1.21) よりとある変形では、偏微分の順序が入れ替へられてゐる[2]

  • p. 111 の \( \frac{\partial^2}{\partial u^2} f(\boldsymbol{y}, u) \) の項の係数に \( -\frac{1}{c^2} \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \) といふ項があるが、\( \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left( f \left( \boldsymbol{y}, t + \frac{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|}{c} \right) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \right) \) はテキストでは計算されてゐないので、確認しておく:

    \( u(t) = t + \frac{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|}{c} \) とおく。\( (f g)'' = ((f g)')' = (f' g + f g')' = f'' g + 2 f' g' + f g'' \) より、

    $$ \begin{aligned} & \phantom{=} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left( f \left( \boldsymbol{y}, t + \frac{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|}{c} \right) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \right) \\ & = \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left( f(\boldsymbol{y}, u) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \right) \\ & = \frac{\partial^2}{\partial t^2} f(\boldsymbol{y}, u) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} + 2 \frac{\partial}{\partial t} f(\boldsymbol{y}, u) \frac{\partial}{\partial t} \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} + f(\boldsymbol{y}, u) \frac{\partial^2}{\partial t^2} \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \\ \end{aligned} $$

    \( \frac{\partial}{\partial t} \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} = 0 \) なので、

    $$ = \frac{\partial^2}{\partial t^2} f(\boldsymbol{y}, u) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} $$

    \( \frac{d^2}{d x^2} f(g(x)) = \frac{d}{dx} \frac{d}{dx} f(g(x)) = \frac{d}{dx} \left( \frac{d}{dg} f(g(x)) \frac{d}{dx} g(x) \right) = \frac{d}{dx} \frac{d}{dg} f(g(x)) \frac{d}{dx} g(x) + \frac{d}{dg} f(g(x)) \frac{d^2}{d x^2} g(x) \) より、

    $$ = \left( \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial}{\partial u} f(\boldsymbol{y}, u) \frac{\partial}{\partial t} u(t) + \frac{\partial}{\partial u} f(\boldsymbol{y}, u) \frac{\partial^2}{\partial t^2} u(t) \right) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \\ $$

    \( \frac{\partial}{\partial t} u(t) = 1 \) なので、

    $$ = \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial}{\partial u} f(\boldsymbol{y}, u) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \\ $$

    \( \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial}{\partial u} f(\boldsymbol{y}, u) \) と \( \frac{\partial}{\partial u} \frac{\partial}{\partial t} f(\boldsymbol{y}, u) \) が共に連続だと仮定する[2:1]と、

    $$ \begin{aligned} & = \frac{\partial}{\partial u} \frac{\partial}{\partial t} f(\boldsymbol{y}, u) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \\ & = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{\partial}{\partial u} f(\boldsymbol{y}, u) \frac{\partial}{\partial t} u(t) \right) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \\ \end{aligned} $$

    \( \frac{\partial}{\partial t} u(t) = 1 \) なので、

    $$ = \frac{\partial^2}{\partial u^2} f(\boldsymbol{y}, u) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \\ $$

    よって、\( -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \left( f \left( \boldsymbol{y}, t + \frac{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|}{c} \right) \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \right) \) の \( \frac{\partial^2}{\partial u^2} f(\boldsymbol{y}, u) \) の項の係数は \( -\frac{1}{c^2} \frac{1}{|\boldsymbol{y} - \boldsymbol{x}|} \) となる。


  1. これを書いてゐるときは「一貫性があれば十分」と思ってゐる。 ↩︎

  2. 中扉には微分と積分の順序も,2変数関数の偏微分の順序も常に交換可能としますとある。 ↩︎ ↩︎